안녕하세요 생각하는 공대생입니다.
이번 포스팅에서는 양자역학의 핵심인 수학 방정식
슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)에 대하여 알아보도록 하겠습니다!
하이젠베르크가 불확정성 원리를 한창 연구하던 무렵!
양자세계를 다른 방식으로 기술하는 연구를 진행중인 인물이 있었으니
바로
에르빈 슈뢰딩거 (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger)
고전역학에서는 뉴턴 운동방정식이
전자기학에서는 맥스웰 방정식이
그리고 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식이 있다고 해도 과언이 아닙니다
물리학 4대장 ㄷㄷ
슈뢰딩거는 전자를 파동으로 다루어 전자의 상태를 나타내는 파동함수를 구할 수 있는 방정식을 찾아내기로 했습니다.
그는 첫 번째 논문을 통해 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻어낸 파동함수가
수소형 원자의 에너지 고유값을 정확하게 나타낸다는 것을 밝혀냈습니다.
그 뒤로 4주 뒤 슈뢰딩거 방정식을 새롭게 유도한 두 번째 논문을 발표했는데
이 논문에서 그는 조화진동자의 문제와 아원자 분리의 문제를 양자 역학적으로 다루었죠.
세 번째 논문에서 자신의 방법이 하이젠베르크의 방법과 같은 내용을 담고 있다는 것을 보여주었고,
스펙트럼이 전기장에서 나누어지는 슈타르크(Stark's effect)효과를 양자 역학적으로 설명하였으며
네 번째 논문에서는 시간에 따라 변해가는 문제를 다루는 방법을 설명했습니다.
이 논문들은 20세기에 가장 위대한 논문들의 반열에 오르면서 슈뢰딩거 역시 노벨 물리학상을 수상하게 됩니다.
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은데요~
슈뢰딩거 방정식은 미분방정식입니다. 대학교 미적분학을 들어야만 조금은 이해하실 수 있겠네요 ㅠㅠ
슈뢰딩거 방정식을 이용한 다양한 예시는 진지한 양자역학에서 다루도록 하겠습니다 ㅎㅎ
자 여기서 엄청나게 중요한 기호가 등장합니다 !!
이 기호가 의미하는 것은 바로 파동함수(Wave Function)
왜 이렇게 중요하냐면
바로 물질이 갖는 파동의 성질을 수학적으로 표현하고 계산 할 수 있도록 해주기 때문입니다.
이론물리학에서 수학이 이토록 중요한 이유는 당연히 직접 실험적으로 확인하지 않아도
수학 계산을 통해 우주의 비밀을 간접적으로 예측하고 계산 할 수 있기 때문이죠.
아무튼
고전역학에서 뉴턴의 운동 방정식에 초기 조건을 대입하여 해를 구하면 단 하나의 해가 구해집니다.
물론 해를 구할 수 없는 경우도 있지만 그것은 해를 구하는 수학적 능력의 문제이지 방정식 자체의 문제는 아닙니다.
즉, 해를 구하기만 하면 미래에 어떤 일이 일어날 지 정확하게 예측할 수 있는 것이죠.
그러나 슈뢰딩거 방정식에 초기조건을 대입하여 방정식을 풀면 하나의 해가 아니라 여러 개의 해가 구해집니다!!
다시 말해 입자의 파동함수를 구하면 서로 다른 에너지를 가지는 여러 가지 파동함수를 구할 수 있다는 것인데요
파동함수는 수학으로 유도된 함수이기 때문에 굉장히 추상적인 함수였습니다.
또한 그 자체만으로는 물리적인 의미를 갖지 못합니다.
파동함수가 갖는 구체적이고 물리적인 의미는 후에 막스 보른(Max Born)에 의해 의미있게 해석 됩니다.
바로 파동함수 절댓값을 제곱한 값이 입자가 존재할 확률밀도를 의미한다는 것!
즉 입자가 그 위치에서 발견될 확률을 의미한다는 것입니다.
(사실 정확히는 확률과 비례합니다. 규격화(Normalization)라는 과정을 거쳐야 확률이 됩니다.)
여기서 별(*)이 붙은건 켤레 복소함수를 의미합니다. 파동함수는 대체로 복소함수의 형태이기 때문이죠.
1차원에서 예시를 들면 이렇습니다.
길이가 L인 1차원 상자에 입자가 존재하는데 이 입자의 규격화된 파동함수가 
이 입자가 a에서부터 b사이에서 발견 될 확률은 
마찬가지로 특정 구역에서 확률 밀도값이 0이라면 그곳에는 입자가 존재하지 않는 것입니다.
이것이 바로 양자역학에서 비롯된 비결정론적 세계관입니다.
비결정론! 결정되지 않았다! 즉 미래는 확률에 의해서 결정될 뿐이다 라는 것이죠 ㅠㅠ (인생도 운빨 ..?)
이러한 결과는 미래는 어떤짓을 하더라도 결정되어 있다는 운명론이나
변수들을 정확히 계산한다면 미래를 예측할 수 있다는 고전역학의 사상등을 부정하며
인류의 사상 변화에 막대한 영향을 끼치게 됩니다.
모든 확률적인 경우의 수가 존재하는 다중우주설, 평행우주설 등에도 영향을 미쳤으며
원자 주위를 운동하는 전자의 확률적인 궤도인 오비탈(orbital)의 시작이기도 합니다.
받아들이기 힘든 분도 계실겁니다.
당대 최고의 천재 아인슈타인뿐만아니라
파동방정식을 정립한 슈뢰딩거조차도 자신의 방정식이
확률이라는 의미를 갖는다는 것을 받아들이지 못했습니다.
아인슈타인은 이러한 확률적인 해석을 매우 못마땅해하며 이런말을 남겼습니다.
"신은 주사위 놀이를 하지 않는다"
다음에 계속
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