불확정성 원리(Uncertainty Principle) 공식 증명

일반화된 불확정성 원리

임의의 관측량 A에 대한 분산은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

마찬가지로 관측량 B의 분산은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

이에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음의 식을 얻는다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle \geqslant \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}}$

한편, 임의의 복소수 z는 복소수의 일반적인 성질에 의해 다음의 식이 항상 성립한다.

${\displaystyle \left|z\right|^{2}=\left[{\operatorname {Re} (z)}\right]^{2}+\left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}\geqslant \left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}=\left[{{\frac {1}{2i}}(z-z^{*})}\right]^{2}}$

따라서 우변의 ${\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}}$에 위의 관계를 적용하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |{\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left[{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right]}\right)^{2}}$

위 식 우변의 괄호 안의 내적을 계산하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\left\langle B\right\rangle -{\hat {B}}\left\langle A\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {\Psi |{\hat {A}}{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {A}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle }$

마찬가지로,

${\displaystyle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }$

${\displaystyle =\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle }$

그러므로 부등식 괄호 안의 내적은 최종적으로 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle }$

위 계산결과는 다음과 같이 두 연산자에 대한 교환자 표기법으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle [{{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

따라서 최종적으로 다음의 식을 얻게 된다.

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}]}\right\rangle }\right)^{2}}$

이것이 일반화된 불확정성 원리이다.

여기서 ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$는 임의의 연산자이므로 교환자가 0이 아닌 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 

따라서 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성은 일반화된 불확정성의 특정한 예라고 할 수 있다.

위치-운동량 불확정성 원리

1차원(x축) 공간 상에 존재하는 입자의 위치와 운동량을 측정하는 경우를 생각해보자. 양자역학에서 운동량을 측정하는 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle p=-{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}}$

위치와 운동량 연산자의 교환자는 임의의 함수 f를 도입하여 다음의 과정을 통해 계산된다.

${\displaystyle [x,{\text{ }}p]f=(xp-px)f=-x{{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}}+{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}(xf)}$

${\displaystyle =-x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+\left(x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+{\hbar }{i}f\right)=i\hbar f}$

임의의 함수 f를 제거하면 위치-운동량 교환자를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left[{x,{\text{ }}p}\right]=i\hbar }$

이것을 일반화된 불확정성 원리에 대입하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}i\hbar }\right)^{2}}$

양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

이것이 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성 원리이다.

에너지-시간 불확정성 원리

임의의 관측량 ${\displaystyle Q(x,p,t)}$의 기댓값을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle }$

여기에 슈뢰딩거 방정식을 적용하면

${\displaystyle i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}={\hat {H}}\Psi }$

이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\hat {H}}\Psi \right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\hat {H}}}$는 헤르미트이므로 ,

${\displaystyle \left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \mid {\hat {H}}{\hat {Q}}\Psi \right\rangle }$

따라서 임의의 관측량${\displaystyle Q}$와 그것에 대한 연산자 ${\displaystyle {\hat {Q}}}$, 해밀토니안 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }$

연산자${\displaystyle {\hat {Q}}}$가 시간에 무관하다고 가정하면 마지막 항은 0이 된다. 이제 위 식을 일반화된 불확정성 원리를 적용하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{H}^{2}\sigma _{Q}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle }\right)^{2}=\left({{\frac {1}{2i}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}}\right)^{2}=\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}\left({\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right)^{2}}$

위 식의 양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{Q}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right|}$

여기서 에너지와 시간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{H}}$

${\displaystyle \Delta t\equiv {\frac {\sigma _{Q}}{\left|{d\left\langle Q\right\rangle /dt}\right|}}}$

따라서 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

이 식이 바로 에너지-시간의 불확정성 원리이다.